Bài 4 trang 49 SGK Hình học 12

Bài 2: Khối cầu

Bài 4 trang 49 SGK Hình học 12:

Tìm tập hợp các tâm mặt cầu luôn tiếp tuyến với ba cạnh của một tam giác đã cho.

Câu trả lời:

* Xét mặt cầu (S) có tâm O, bán kính R và tiếp tuyến với ba cạnh BC, CA, AB của tam giác ABC tại M, N, P. H là hình chiếu vuông góc của O trên mp (ABC), Ta có:

OM ⊥ AB => BM AB

(theo định lý ba đường thẳng vuông góc)

Tương tự: HN BC, HP AC

Ta có: OM = ON = OP = R

Khi đó ΔOHM = ΔOHN = OHP

Suy ra HM = HN = HP

Chứng minh H là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Vậy tâm O của mặt cầu nằm trên đường thẳng d vuông góc với mp (ABC) tại tâm H của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

* Lấy điểm O trên trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đường tròn nội tiếp tam giác ABC tiếp xúc với BC, CA, AB lần lượt tại N, P, M, ta có: HM ⊥ AB, HN ⊥ BC, HP ⊥ CA

OM ⊥ AB, ON BC, OP CA (1)

Ngược lại: HM = HN = HP => ΔOHM = OHN = OHP

OM = ON = OP (2)

Từ (1) và (2) suy ra mặt cầu (S) tiếp tuyến với ba cạnh của tam giác ABC. Vậy tập hợp các tâm mặt cầu tiếp tuyến với ba cạnh của tam giác ABC đã cho là trục của đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

Đăng bởi: Trường ĐH KD & CN Hà Nội

Chuyên mục: Lớp 12, Toán 12