Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng có lời giải

A. Tóm tắt lý thuyết

I. Đường vuông góc với mặt phẳng

Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) nếu d vuông góc với mọi đường thẳng trong (α).

Khi đó ta cũng nói (α) vuông góc với d và ký hiệu

II. Điều kiện để đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Nếu đường thẳng d vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau trong mặt phẳng (α) thì d vuông góc với (α).

III. Thiên nhiên

1. Chỉ có một mặt phẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

2. Có một đường thẳng duy nhất đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một mặt phẳng cho trước.

IV. Mối quan hệ giữa quan hệ vuông góc và quan hệ song song

1. a) Cho hai đường thẳng song song. Bất kỳ mặt phẳng nào vuông góc với một đường thẳng cũng vuông góc với đường thẳng kia.

b) Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau.

2. a) Cho hai mặt phẳng song song. Đường thẳng nào vuông góc với một mặt phẳng thì cũng vuông góc với mặt phẳng kia.

b) Hai mặt phẳng phân biệt cùng vuông góc với một đường thẳng thì song song với nhau.

3. a) Cho đường thẳng a và mặt phẳng (α) song song với nhau. Đường thẳng nào vuông góc với (α) thì cũng vuông góc với

b) Nếu một đường thẳng và một mặt phẳng (không chứa đường thẳng) vuông góc với một đường thẳng khác thì chúng song song với nhau.

V. Phép chiếu vuông góc và định lý ba góc vuông

1. Định nghĩa.

Gọi d vuông góc với mặt phẳng (α). Hình chiếu song song theo phương d lên mặt phẳng (α) được gọi là hình chiếu trực giao trên mặt phẳng (α).

2. Định lý ba đường thẳng vuông góc.

Cho đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (α) và b là đường thẳng không nằm trong (α) và không vuông góc với (α). Gọi b ‘là hình chiếu vuông góc của b trên (α). Khi đó a vuông góc với b nếu và chỉ khi a vuông góc với b ‘

3. Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng d và mặt phẳng (α). Chúng tôi có định nghĩa:

+ Nếu đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (α) thì ta nói rằng góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α) là 90 °.

+ Nếu đường thẳng d không vuông góc với mặt phẳng (α) thì góc giữa d và hình chiếu d ’của nó trên (à) gọi là góc giữa đường thẳng d và mặt phẳng (α).

Lưu ý rằng góc giữa đường thẳng và mặt phẳng không vượt quá 90 °.

B. Các dạng bài tập và cách giải

Dạng 1: Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

1. Phương pháp giải

* Cách chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Để chứng minh đường thẳng d ⊥ (α) ta có thể dùng một trong hai cách sau.

Cách 1. Chứng minh rằng d vuông góc với hai đường thẳng a; b cắt nhau trong (α).

Cách 2. Chứng minh rằng d vuông góc với đường thẳng a và a vuông góc với (α).

Cách 3. Chứng minh rằng d vuông góc với (Q) và (Q) // (P).

* Chứng minh rằng hai đường thẳng vuông góc

– Để chứng minh d ⊥ a, ta có thể chứng minh bằng một trong các cách sau:

+ Chứng minh rằng d vuông góc với (P) và (P) chứa a.

Sử dụng định lý ba đường thẳng vuông góc.

+ Sử dụng các cách chứng minh đã biết ở phần trước.

2. Bài tập có lời giải

Bài 1. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD tâm O và có cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD). Gọi H, I và K lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm A trên các cạnh SB, SC và SD.

a) Chứng minh BC ⊥ (SAB), CD ⊥ (SAD) và BD ⊥ (SAC).

b) Chứng minh rằng SC ⊥ (AHK) và điểm I thuộc (AHK).

c) Chứng minh HK ⊥ (SAC), từ đó suy ra HK ⊥ AI.

Phần thưởng

a) BC ⊥ AB vì đáy ABCD là hình vuông (h.3.24)

BC ⊥ SA vì SA ⊥ (ABCD) và BC thuộc (ABCD).

Do đó BC ⊥ (SAB) vì BC vuông góc với hai đường thẳng chéo nhau trong (SAB).

Lập luận tương tự ta có CD ⊥ AD và CD ⊥ SA nên CD ⊥ (SAD).

Ta có BD ⊥ AC vì đáy ABCD là hình vuông và BD ⊥ SA nên BD ⊥ (SAC).

b) BC ⊥ (SAB) mà AH ⊂ (, SAB) nên BC ⊥ AH và theo giả thiết SB ⊥ AH ta suy ra AH ⊥ (SBC).

Vì SC ⊂ (SBC) nên AH ⊥ SC.

Bằng lập luận tương tự, ta có thể chứng minh rằng AK ⊥ SC. Hai đường thẳng AH, AK cắt nhau và cùng vuông góc với SC nên cùng nằm trong mặt phẳng đi qua điểm A và vuông góc với SC. Vậy SC ⊥ (AHK). Ta có AI ⊂ (.AHK) vì đi qua điểm A và vuông góc với SC.

Hai tam giác vuông SAB và SAD đồng dạng vì chúng có cạnh chung SA và AB AD (đvC). Do đó SB = SD, SH = SK nên HK // BD.

Vì BD ⊥ (SAC) nên HK (SAC) và vì AI c = (SAC) nên HK ⊥ AI.

Bài tập 2. Cho tứ diện đều ABCD. Chứng minh rằng các cặp cạnh đối diện của tứ diện này vuông góc với nhau.

Phần thưởng

Giả sử chúng ta cần chứng minh AB ⊥ CD.

Gọi I là trung điểm của cạnh AB (h3.26). Chúng ta có :

Do đó AB ⊥ CD vì CD nằm trong mặt phẳng (CID).

Lập luận tương tự ta có thể chứng minh BC ⊥ AD và AC ⊥ BD.

Bài 3. Hình chóp S.ABCD có đáy là hình chữ nhật ABCD và cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy. Chứng minh rằng các mặt bên của hình chóp đã cho là các tam giác vuông.

Phần thưởng

SA ⊥ AB và SA ⊥ AD (h.3.28).

Vậy các tam giác SAB và SAD là các tam giác vuông tại A.

Vậy tam giác SDC vuông cân tại D và tam giác SBC vuông cân tại B.

Ghi chú. Để chứng minh rằng tam giác SDC là góc vuông tại D, ta có thể áp dụng định lý ba góc vuông và lập luận như sau:

Đường thẳng SD có hình chiếu vuông góc lên mặt phẳng (ABCD) là AD. Theo định lý lượng giác vì CD ⊥ AD, CD ⊥ SD và ta có tam giác SDC vuông tại D.

Tương tự, ta có thể chứng minh rằng CB ⊥ SB và ta có tam giác SBC vuông tại B.

Dạng 2: Cách tính góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

1. Phương pháp giải

Để xác định góc giữa đường thẳng a và mặt phẳng (α), ta làm theo các bước sau:

+ Bước 1: Tìm giao điểm O của đường thẳng a và (α)

+ Bước 2: Dựng hình chiếu A ‘của điểm A ∈ a xuống (α)

+ Bước 3: Góc AOA ‘= là góc giữa đường thẳng a và (α)

Ghi chú:

– Để dựng hình chiếu A ‘của điểm A trên (α) ta chọn đường thẳng b ⊥ (α) thì AA’ // b.

– Để tính góc φ ta sử dụng hệ thức lượng giác trong tam giác vuông OAA ‘.

2. Bài tập có lời giải

Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông với cạnh huyền BC = a. Hình chiếu vuông góc của S lên trên (ABC) trùng với trung điểm của BC. Biết SB = a. Tính số đo của góc giữa SA và (ABC).

A. 30 ° B. 45 ° C. 60 ° D. 75 °

Hướng dẫn giải pháp

Chọn kích cỡ

Gọi H là trung điểm của BC suy ra

AH = BH = CH = (1/2) BC = a / 2

Bài tập 2: Cho ABC là tam giác vuông cân tại A và BC = a. Trên đường thẳng A vuông góc với (ABC) lấy điểm S sao cho SA = (√6) a / 2. Tính số đo góc giữa đường thẳng SA và (ABC).

A. 30 ° B. 45 ° C. 60 ° D. 90 °

Hướng dẫn giải pháp

Chọn DỄ DÀNG

Từ giả thuyết, nó theo sau rằng:

SA (ABC) (SA, (ABC)) = 90 °

Đăng bởi: Trường ĐH KD & CN Hà Nội

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11