Bài tập đường thẳng vuông góc với mặt phẳng nâng cao

Tuyển tập các bài toán nâng cao về đường vuông góc trong mặt phẳng, có hướng dẫn giải.

Bài tập 1: Cho tứ diện ABCD có 2 mặt ABC và BCD là 2 tam giác cân có chung đáy BC. I là trung điểm của cạnh BC.

a) Chứng minh: BC ⊥ mp (ADI).

b) Gọi AH là đường cao của tam giác ADI. CM: AH mp (BCD)

Phần thưởng:

a) Chứng minh BC ⊥ mp (ADI):

ΔABC và ΔDBC cân và I là trung điểm của BC nên:

BC AI

BC DI

⇒ BC ⊥ (ADI)

b) Chứng minh AH ⊥ mp (BCD):

Ta có: * ID ⊥AH (gt) (1)

* BC (ADI) (cmt)

⇒BC ⊥AH và AH ⊂ (ADI) (2)

Từ (1) và (2) AH ⊥ mp (BCD)

Bài tập 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thoi ABCD và có SA = SB = SC = SD

Chứng minh rằng:

a) SO ⊥ mp (ABCD), với O là giao điểm của AC và BD.

b) AC ⊥ mp (SBD) và BD ⊥ mp (SAC).

c) Gọi I và J lần lượt là trung điểm của cạnh BA và BC. CM: IJ ⊥ (SBD).

Phần thưởng

a) CM: SO mp (ABCD):

Ta có: ΔSAC và SBD cân bằng tại S (gt)

⇒SO AC và SO BD

SO mp (ABCD)

b) * CM: AC mp (SBD)

Ta có: AC BD (2 đường chéo của hình thoi) và AC SO (cmt)

⇒AC mp (SBD)

c) IJ ⊥ (SBD):

Ta có: IJ // AC (IJ là trung bình của ΔABC)

Mà: AC mp (SBD) (cmt)

⇒ IJ ⊥ mp (SBD)

BÀI TẬP 3: Cho tứ diện OABC có 3 cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc. H là chân đường vuông góc hạ từ O đến mp (ABC). C / phút:

a) H là trực tâm của tam giác ABC.

b)

Phần thưởng:

a) CM: H là trực tâm của ΔABC:

Ta có: OA ⊥OB và OA OC OA (OBC) ⇒ OA BC (1)

OH mp (ABC) OH ⊥ BC (2)

Từ (1) & (2) BC ⊥ (AOH)

BC AH

C / m tương tự ta được: AB CH

Suy ra: H là trực tâm của ΔABC.

b) CM: 1 / OH² = 1 / OA² + 1 / OB² + 1 / OC²

Gọi I là giao điểm của AH và BC.

Ta có: OA mp (OBC) OA ⊥OI

⇒ AOI vuông tại O, OH là đường cao nên: 1 / OH² = 1 / OA² + 1 / OI² (3)

BC (AOH) BC OI

⇒ΔBOC là hình vuông tại O, OI là đường cao nên: 1 / OI² = 1 / OB² + 1 / OC² (4)

Từ 3 & 4 1 / OH² = 1 / OA² + 1 / OB² + 1 / OC²

Bài tập 4: Cho hình chóp S.ABCD, có đáy là hình thoi ABCD và cạnh bên SA vuông góc với mp (ABCD). Gọi I, K là 2 điểm lấy trên 2 cạnh SB và SD sao cho SI / SB = SD / SD.

Chứng tỏ:

a) BD SC

b) IK mp (SAC)

Phần thưởng :

a) BD SC

BD AC (2 đường chéo hình thoi)

BD SA (SA (ABCD)

BD ⊥ (SAC)

BD SC

b) IK ⊥ (SAC):

Ta có: SI / SB = SD / SD⇒ IK // BD

Mà BD (SAC) IK (SAC)

Ra thêm 1) Cho tứ diện đều ABCD. CMR nếu AB ⊥ CD, AC ⊥ BD thì BC ⊥AD.

Phần thưởng:

Gọi H là hình chiếu của A trên mặt phẳng (BCD).

Theo đó BH và CH lần lượt là hình chiếu của AB và AC trên mp (BCD).

Ta có: * CD AB CD BH (Trừ 3 đường thẳng vuông góc)

* BD ⊥ AC BD CH (Số đo 3 đường vuông góc)

Vậy H là trực tâm của tam giác BCD.

Suy ra: BC DH

Mà DH là hình chiếu của AD trên mp (BCD) nên BC⊥AD.

Bài tập 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a, mặt bên (SAB) là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AD.

a) Chứng minh rằng: SH ⊥ (ABCD).

b) Chứng minh: AC ⊥ SK và CK ⊥ SD.

Hướng dẫn:

a) CM: SH ⊥ (ABCD):

♦ Dùng đảo Pitago cm: BC SB

♦ BC ⊥ AB (ABCD là hình vuông)

⇒ BC (SAB) BC SH (1)

Ngược lại: AB ⊥SH (2)

Từ (1) và (2) SH (ABCD

b) CM AC ⊥ SK và CK ⊥ SD:

CM AC SK

Ta có: HK // DB và AC⊥ DB⇒ HK ⊥AC (1)

SH (ABCD) và AC (ABCD) SH ⊥AC (2)

Từ (1) & (2) AC ⊥ (SHK)

AC SK

♦ CM CK ⊥ SD:

Ta nhận được: CK DH (1)

SH⊥ (ABCD) và CK (ABCD) ⇒ CK SH (2)

Từ (1) & (2) ⇒ CK ⊥ SD.

Đăng bởi: Trường ĐH KD & CN Hà Nội

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11