Các dạng toán Vi-ét – Giải Toán 10

Câu hỏi: Các dạng Toán Tiếng Việt lớp 10

Câu trả lời:

• Dạng 1: Bài toán tính nhẩm
• Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tích
• Dạng 3: Tính giá trị hoặc viết hệ thức giữa các nghiệm
• Dạng 4: Sử dụng hệ thức Viet để xác định tính chất nghiệm của phương trình bậc hai (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, ...)

Cùng trường ĐH KD & CN Hà Nội tìm hiểu chi tiết các dạng đề thi vào lớp 10 môn toán Tiếng Việt

Dạng 1: Bài toán tính nhẩm

Phương pháp

- Đánh giá nghiệm của phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) ta làm như sau:

+ B1: Tính = b2 - 4ac. Nếu 1, x2

+ B2: Trong trường hợp ∆ ≥ 0 sử dụng Viet, ta thực hiện phép tính như sau:

- Nếu hệ số a = 1 thì phương trình có dạng x2 + bx + c = 0Ta phân tích hệ số c thành tích của 2 số trước rồi kết hợp với b để tìm 2 số thỏa mãn tổng -b và tích của c. Hai số vừa tìm được là nghiệm của phương trình x 2

Các dạng toán Tiếng Việt

- Nếu hệ số a 1 thì ta chia cả hai vế của phương trình cho a để đưa phương trình về dạng

- Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:

Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 2)

- Nếu a - b + c = 0 thì phương trình có 2 nghiệm:

Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 3)

Ví dụ :Tính các nghiệm của các phương trình sau một. x

2- 11x + 30 = 0 b. x

2- 12x + 27 = 0 c. 2x

2+ 3x + 1 = 0 d. 3x

2

- 2x - 1 = 0Phần thưởngmột. Phương trình đã cho có = 112 - 4.30 = 121 - 120 = 1> 0 nên có 2 nghiệm phân biệt xĐầu tiên

x

Theo Việt chúng tôi có

Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 4)

Ta thấy 30 = 15,2 = (-15). (- 2) = 10,3 = (-10). (- 3) = 6,5 = (-6). (- 5) nhưng ta cần chọn hai số có tổng là 11 vì vậy hai số thỏa mãnlà 6 và 5Suy ra các nghiệm của phương trình: x1 = 5, x2 = 6b. Phương trình đã cho có ∆ = 122 - 4,27 = 144 - 108 = 36> 0 nên có 2 nghiệm phân biệt x

Đầu tiên

2

Theo Việt chúng tôi cóCác dạng toán Tiếng Việt (Hình 5) Ta thấy 27 = 9.3 = (-9). (- 3) = 1.27 = (-1). (- 27) nhưng ta cần chọn hai số có tổng bằng 12 để hai số thỏa mãn

là 9 và 3

Vậy các nghiệm của phương trình là: x

= 3, x2 = 9

c. Phương trình đã cho có: a - b + c = 2 - 3 + 1 = 0

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 6)

d. Phương trình đã cho có: a + b + c = 3 + (-2) + (-1) = 0

Khi đó các nghiệm của phương trình là:

Các dạng toán Tiếng Việt (ảnh 7)

Dạng 2: Tìm hai số khi biết tổng và tíchPhương pháp - Bài toán: Tìm hai số u và v biết: u + v = S, uv = P

- Dung dịch:

+ Kiểm tra điều kiện tồn tại của hai số u và v: Nếu2 2 4P thì tồn tại hai số u và v

+ Trong trường hợp tồn tại, hai số phải tìm là nghiệm của phương trình. x

2

- Sx + P = 0

Ví dụ:

Tìm hai số đã biếtmột. Tổng của chúng là 8, tích của chúng là 11 b. Tổng của chúng là 17, tích của chúng là 180

Phần thưởngmột. Vì S = 8 nên P = 11 thỏa mãn S 2

≥ 4P nên tồn tại hai số cần tìmHai số đó là nghiệm của phương trình x 2

- 8x + 11 = 0

= (-8)

- 4,11 = 64 - 44 = 20> 0

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 8) Vậy hai số cần tìm là:

Các dạng toán Tiếng Việt (ảnh 9)

b. Với S = 17, P = 180, thì S

2= 289 Dạng 3: Tính giá trị hoặc viết hệ thức giữa các nghiệm

Định lý Vietet: Nếu x1, x2 là hai nghiệm của phương trình ax

2

+ bx + c = 0 (a 0) thìCác dạng Toán Tiếng Việt (Hình 10) *) Sử dụng định lý Viet mà không cần giải phương trình, ta vẫn có thể tính tổng và tích của các nghiệm hoặc biểu thức liên quan đến tổng và tích của các nghiệm thông qua các bước sau:+ B1: Tính = b

2

- 4ac. Nếu 1, x

chúng tôi thực hiện bước 2

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 11)

Một số công thức chung:

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 12)

Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 13)

*) Để tìm mối liên hệ giữa các nghiệm x

Đầu tiênx2của phương trình bậc hai không phụ thuộc vào tham số ta làm như sau: + B1: Tìm điều kiện để phương trình có 2 nghiệm x

Đầu tiên

2

(∆ 0)

+ B2: áp dụng tiếng Việt để tìm Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 14)

+ B3: Biến đổi kết quả mà không có bất kỳ tham số nào khácVí dụ Ví dụ 1:

Không giải phương trình, hãy tính tổng và tích của các nghiệm (nếu có) của các phương trình saumột. x 2

- 6x + 7 = 0

b. 5x2 - 3x + 1 = 0Phần thưởng một. Ta có = (bꞌ)2- ac = (-3)2

- 7 = 9 - 7 = 2> 0 nên phương trình có 2 nghiệm phân biệt x

x

2Theo Việt chúng tôi có: Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 15)Vậy tổng 2 nghiệm bằng 6, tích 2 nghiệm bằng 7 b. Chúng tôi có = b

2

- 4ac = (-3) 2- 4,5,1 = 9 - 20 = -11Theo đó, không có tổng và tích của các giải phápVí dụ 2: biết xĐầu tiên x

là 2 nghiệm của phương trình: x

2- 5x + 2 = 0. Không giải phương trình tính giá trị của biểu thức.Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 16)Phần thưởng Vì phương trình có 2 nghiệm nên x

x

nên theo Việt chúng ta có:

Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 17) Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 18) Vậy A = 21

Ví dụ 3:

2- 2 (m-1) x + m- 3 = 0 (m là tham số). Tìm một liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình đã cho không phụ thuộc vào m.Phần thưởngCác dạng toán Tiếng Việt (Hình 19) Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt x

Đầu tiên

2 Theo công thức của Viet, ta có:Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 20) Lấy (1) - (2): xĐầu tiên+ x2 - 2 x

Đầu tiên

x 2= 4 không phụ thuộc vào m. Dạng 4: Sử dụng hệ thức Viet để xác định tính chất nghiệm của phương trình bậc hai (hai nghiệm trái dấu, cùng dấu, ...)

Phương pháp:

cho phương trình ax

2

+ bx + c = 0 (a 0)

một. Điều kiện cho phương trình

1. Hai nghiệm cùng dấu ≥ 0 và P> 0

2. Hai nghiệm trái dấu khi ac

3. Hai nghiệm dương (lớn hơn 0) ⇔∆ ≥ 0; S> 0 và P> 0

4. Hai gốc âm (nhỏ hơn 0) ⇔∆ ≥ 0; S 0

5. Hai nghiệm trái dấu ≥ 0 và S = 0

6. Hai nghiệm nghịch biến của nhau ≥ 0 và P = 1

7. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm âm có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi ac

8. Hai nghiệm trái dấu và nghiệm dương có giá trị tuyệt đối lớn hơn khi

b. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt sao cho x1 = px2 (với p là số thực)

B2- Áp dụng định lý Viet để tìm:Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 21) B3- Kết hợp (1) và (3) để giải hệ phương trình:Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 22)

xĐầu tiên và x2 B4- Thay x

Đầu tiên

và x

2vào (2) ⇒ Tìm giá trị của tham số. c. So sánh các nghiệm nguyên của phương trình bậc hai với một số bất kỳ:B1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (∆ ≥ 0) B2: Áp dụng Viet để tính xĐầu tiên+ x2 và x

Đầu tiên

x

2

+ / Đối với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm> α

Chúng ta có

Thay thế biểu thức tiếng Việt vào hệ thống

để tìm tôi+ / Đối với bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm Chúng ta có

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 24)

Thay thế biểu thức tiếng Việt vào hệ thống để tìm tôi+ / Cho bài toán: Tìm m để phương trình có hai nghiệm: x Đầu tiên

2

Các dạng toán ở Việt Nam (hình 250)

Ví dụ 1:

Cho phương trình x

một. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

b. Tìm m để phương trình có hai nghiệm

Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 26)

Phần thưởng

một. Phương trình có 2 nghiệm khi

Các dạng toán Tiếng Việt (Hình 27)

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 28)

Áp dụng công thức Viet

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 29)

Chia cả hai bên của

Các dạng toán tiếng Việt (ảnh 30)

Các dạng Toán Tiếng Việt (Hình 31)

Suy luận kết hợp. Thay vào đó suy ra (thỏa mãn)

Cho phương trình x

2

- 10mx + 9m = 0 (m là tham số)