Hướng dẫn Cách giải bất phương trình bậc hai chứa tham số Hay nhất, chi tiết, bám sát nội dung sgk Toán lớp 10, giúp các em ôn tập tốt hơn.
Bất phương trình bậc hai
– Bất phương trình bậc hai một ẩn x là bất phương trình có dạng ax2 + bx + c
(hoặc ax2 + bx + c 0, ax2 + bx + c> 0, ax2 + bx + c ≥ 0)
Trong đó a, b, c là các số thực đã cho, a ≠ 0.
Ví dụ: x2 – 2> 0; 2x2 + 3x – 5
– Giải bất phương trình bậc hai ax2 + bx + c 2 + bx + c cùng dấu với hệ số a (trong trường hợp a>0).
Tam thức bậc hai và Dấu của tam thức bậc hai
Chúng ta có định lý về dấu của tam thức bậc hai như bảng dưới:
Nhận xét:
* Định lý: Cho f (x) = ax2 + bx + c, = b2 – 4ac.
– Nếu Δ<0 thì f (x) luôn cùng dấu với hệ số a (với mọi x ∈ R)
– Nếu Δ = 0 thì f (x) luôn cùng dấu với a trừ khi x = -b / 2a.
– Nếu Δ>0 thì f(x) luôn cùng dấu với hệ số a khi x < x1 hoặc x > x2 ; trái dấu với hệ số a khi x1 < x < x2 trong đó x1, x2 (với x1 < x2) là hai nghiệm của f(x).
Cách xét dấu của tam giác bậc 2.
Bước 1: Tính Δ , bấm máy tính và tìm hai nghiệm của tam thức bậc hai
Bước 2: Lập bảng xét dấu dựa vào dấu của hệ số a (trong trái ngoài cùng)
Bước 3: Dựa vào bảng xét dấu và kết luận.
Những dạng bài tập giải bất phương trình thường gặp
Dạng 1: Giải bất phương trình bậc hai.
Phương pháp giải:
– Bước 1:Biến đổi bất phương trình bậc 2 một vế về bằng 0 và vế còn lại về tam thức bậc 2.
– Bước 2: Xét dấu vế trái của tam thức bậc hai và kết luận lời giải.
Ví dụ 1 (Bài 3 trang 105 SGK Đại Số 10)
-3x2 + x + 4 ≥ 0
– Xét tam thức f(x) = -3x2 + x + 4
– Ta có : Δ = 1 + 48 = 49 > 0 có hai nghiệm x = -1 và x = 4/3, hệ số a = -3 < 0.
⇒ f(x) ≥ 0 khi -1 ≤ x ≤ 4/3. (Trong trái dấu a, ngoài cùng dấu với a)
⇒ Tập nghiệm của bất phương trình là: S = [-1; 4/3]
Dạng 2: Cách giải các bất phương trình về tích.
Phương pháp:
– Bước 1:Chuyển đổi bất phương trình bậc 2 về dạng tích và thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2.
– Bước 2: Xét dấu của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai trên rồi kết luận nghiệm.
Dạng 3: Giải các bất phương trình ẩn ở mẫu
Phương pháp giải:
– Bước 1: Biến bất phương trình bậc 2 về dạng tích, thương các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc 2
– Bước 2: Xét dấu của các nhị thức bậc nhất và tam thức bậc hai rồi kết luận lời giải.
Lưu ý: Cần lưu ý đến điều kiện xác định của bất phương trình.
Dạng 4: Tìm điều kiện của tham số để bất phương trình vô nghiệm – có nghiệm – nghiệm đúng
Phương pháp:
– Nếu Δ<0 thì tam thức bậc hai cùng dấu với a
– Bình phương, căn bậc hai, giá trị tuyệt đối của một biểu thức luôn không âm.
Dạng 5: Cách giải hệ bất phương trình bậc hai.
Phương pháp:
– Bước 1: Giải từng bất phương trình trong hệ.
– Bước 2: Kết hợp các giải pháp và kết luận.
Bài tập tham khảo có hướng dẫn giải chi tiết
Bài 1: Tìm m để bất phương trình x2 – 2 (m + 1) + m2 + 2m 0 có một nghiệm với mọi x ∈ [0; 1]
Hướng dẫn giải chi tiết
Đặt x2 – 2 (m + 1) + m2 + 2m 0
Vậy bất phương trình có nghiệm đúng với x ∈ [0; 1]
Phương trình f (x) = 0 có hai nghiệm thỏa mãn
Vậy với -1 ≤ m ≤ 0 thỏa mãn điều kiện bài toán đã cho.
Bài 2: Tìm m để bất phương trình sau (m + 2) x2 – 2mx + m2 + 2m ≤ 0 có một nghiệm.
Hướng dẫn giải chi tiết
Hãy xem xét 3 trường hợp:
– Trường hợp 1: Với m + 2 = 0 ⇒ m = -2 ta được:
(1) 4x + 4
Bất bình đẳng không có giải pháp
– Trường hợp 2: Với m
Bất phương trình đã cho cũng có nghiệm
– Trường hợp 3: m + 2> 0 ⇒ m> -2. Khi đó bất phương trình đã cho có nghiệm thì vế trái phải có 2 nghiệm phân biệt:
m> 2 và -2
Vì vậy, với | m |
Bài 3: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: m2x + 3
Hướng dẫn giải chi tiết
Bất đẳng thức tương đương với: m2x – mx 2 – m) x 2 – m = 0 ⇔m = {0; 1} thì bất phương trình trở thành 0
Vậy bất phương trình có vô số nghiệm.
Vậy bất phương trình có nghiệm với mọi giá trị thực của m.
Bài 4: Tìm tham số m để bất phương trình: f (x) = (m2 + 1) x2 + (2m – 1) x – 5
Nghiệm đúng với mọi x trong khoảng (-1; 1)
Hướng dẫn giải chi tiết
Chúng ta có:
Vậy để bất phương trình có nghiệm đúng với mọi x trong khoảng (-1, 1) thì m ∈ (-1; √6 – 1)
Nguồn: hubm.edu.vn
#Cách #giải #bất #phương #trình #bậc #chứa #tham #số #Giải #Toán
