Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Xác định góc giữa hai mặt phẳng là một dạng toán quan trọng trong chương trình Toán 11 Trường ĐH KD & CN Hà Nội Kiểm tra các bài viết sau:

1. Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian

Góc giữa hai mặt phẳng trong không gian lần lượt bằng góc tạo bởi hai đường thẳng vuông góc với hai mặt phẳng đó.

Nhận thấy góc giữa hai mặt phẳng có số đo từ 0∘ đến 90∘.

Nếu hai mặt phẳng song song hoặc trùng nhau thì góc giữa chúng là 0∘. Ngược lại, nếu hai mặt phẳng phải cắt nhau tại giao điểm của một đường thẳng nào đó, tức là Δ, thì ta có ba cách như dưới đây.

Vấn đề. Xác định góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) trong không gian.

1.1. Sử dụng định nghĩa góc giữa hai mặt phẳng trong không gian.

Tìm hai đường thẳng a và b cùng vuông góc với hai mặt phẳng (P) và (Q). Góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) đúng bằng góc giữa hai đường thẳng a và b.

Vì chúng ta được quyền chọn các đường thẳng a và b nên chúng ta thường chọn sao cho hai đường thẳng này cắt nhau, sẽ dễ dàng hơn trong việc tính góc giữa chúng.

1.2. Xác định góc giữa hai mặt phẳng bằng giao tuyến

– Xác định giao tuyến Δ của hai mặt phẳng (P) và (Q).

– Tìm mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ.

– Tìm các giao điểm a, b của mặt phẳng (R) với hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt.

– Tính góc giữa hai đường thẳng a và b, đây là góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q).

Bình luận. Thay vì tìm mặt phẳng (R) vuông góc với giao tuyến Δ, ta có thể tìm điểm C nào đó trên Δ. Sau đó từ điểm C này lần lượt dựng hai đường thẳng a và b nằm trong mỗi mặt phẳng và tính góc giữa chúng.

1.3. Tính góc giữa 2 mp bằng công thức diện tích hình chiếu

Giả sử góc giữa hai mặt phẳng (P) và (Q) bằng φ. Lấy trong mặt phẳng (P) một đa giác (H) có diện tích S, hình chiếu vuông góc của đa giác (H) lên mặt phẳng (Q) là đa giác (H ′) có diện tích S ′. Sau đó, chúng tôi luôn có công thức

S ′ = Scosφ.

2. Ví dụ tính góc giữa 2 mặt phẳng trong không gian

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a. Cạnh bên SA = a và vuông góc với mặt đáy. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), góc giữa mặt phẳng (SBD) và mặt phẳng (ABCD).

Hướng dẫn. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD), ta sử dụng cách thứ hai.

– Giao tuyến của hai mặt phẳng (SBC) và (ABCD) là BC.

– Bây giờ, chúng ta cần tìm (nếu chưa có thì chúng ta sẽ tự vẽ thêm) một mặt phẳng vuông góc với giao điểm BC này. Nếu phát hiện ra đó là mặt phẳng (SAB) thì không sao, nếu không phải thì hãy chú ý hai điều sau:

+ Để có mặt phẳng vuông góc với BC, cần tìm mặt phẳng chứa hai đường thẳng cắt nhau và cùng vuông góc với BC.

+ Những đường thẳng nào vuông góc với đường thẳng BC (là SA và AB).

– Bước tiếp theo, sau khi có mặt phẳng (SAB), ta sẽ tìm giao tuyến của nó với hai mặt phẳng ban đầu là đường thẳng AB và SB

– Cuối cùng ta đi tính góc giữa hai đường thẳng AB và SB, đó là góc SBA, hãy tính xem góc này bằng bao nhiêu.

Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SBD) và (ABCD), bạn hãy làm theo các bước trên. Gợi ý, góc giữa hai mặt phẳng này bằng góc SOA.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân với BA = BC = a; cạnh bên SA vuông góc với mặt đáy và SA = a. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của cạnh AB và AC.

1. Tính góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC).

2. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SEF) và (SBC).

3. Tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC).

Hướng dẫn.

1. Góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (SBC) bằng góc SBA.

2. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SEF) và (SBC) là đường thẳng d đi qua điểm S và song song với BC. Do đó ta tìm mặt phẳng vuông góc với giao tuyến d cũng là ta tìm mặt phẳng vuông góc với đường thẳng BC. Và, nhận thấy luôn luôn mặt phẳng (SAB) vuông góc với BC. Khi đó khá dễ dàng để xác định giao tuyến của mặt phẳng (SAB) với hai mặt phẳng ban đầu. Góc giữa hai mặt phẳng chính bằng góc BSE và đáp án

3. Để tính góc giữa hai mặt phẳng (SAC) và (SBC), ta có thể thực hiện bằng cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao tuyến SC của chúng. Tuy nhiên với cách này không phải bạn nào cũng biết cách tạo mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đó nên ở đây thầy hướng dẫn cách sử dụng công thức diện tích hình chiếu.

Trong mặt phẳng (SBC) ta chọn một đa giác dễ tính diện tích, chọn tam giác SBC. Đây là tam giác vuông tại B nên diện tích là

Tiếp theo, tìm hình chiếu của tam giác này lên mặt phẳng (SAC). Ta có ngay hình chiếu vuông góc của C và S trùng với chính nó nên chỉ cần tìm hình chiếu vuông góc của điểm B là đủ.

Phát hiện ra trung điểm F của AC là hình chiếu vuông góc của điểm B lên mặt phẳng (SAC) (thử giải thích xem sao, nếu không được thì hãy để lại comment dưới bài viết, mình sẽ hướng dẫn các bạn).

Như vậy, hình chiếu vuông góc của tam giác SBC lên mặt phẳng (SAC) là tam giác SCF, tam giác này có diện tích

Theo công thức diện tích hình chiếu,

SSCF = SSBC⋅cosφ

Thay số tìm được, ((SAC), (SBC)) = 60.

Nếu vẫn dùng cách dựng mặt phẳng vuông góc với giao điểm SC, GV gợi ý lần lượt gọi H, K là hình chiếu vuông góc của A lên SB, SC, sau đó chứng minh mặt phẳng (AHK) vuông góc với SC. Góc giữa hai mặt phẳng cần tính bằng góc AK

Đăng bởi: Trường ĐH KD & CN Hà Nội

Chuyên mục: Lớp 11, Toán 11