Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Để chứng minh rằng ba điểm (hoặc nhiều điểm) thẳng hàng, ta chứng minh rằng chúng là điểm chung của hai mặt phẳng phân biệt, khi đó chúng nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng nên chúng thẳng hàng.
Để chứng minh ba đường thẳng đồng quy ta có thể làm theo những cách sau:
- Cách 1: chứng minh giao điểm của hai đường này là điểm chung của hai mặt phẳng mà giao tuyến là đường thẳng thứ ba
- Cách 2: Dựa vào định lí: Ba mặt phẳng phân biệt cắt nhau theo ba giao tuyến khi đó; ba giao tuyến đó đồng quy hoặc đôi một song song
Bài tập – giải chi tiết
Bài 1: Xác định giao điểm
Cho hình bình hành ABCD. S là điểm không thuộc (ABCD), M và N lần lượt là trung điểm của đoạn AB và SC.
Xác định giao điểm I = AN (SBD)
Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)
Chứng minh rằng I, J, B thẳng hàng
Hướng dẫn
Xác định giao điểm I = AN (SBD)
- Chọn mặt phẳng phụ (SAC) ⊃ AN
- Tìm giao tuyến của (SAC) và (SBD). (SAC)∩ (SBD) = SO
- Trong (SAC), gọi I = AN ∩ SO, I AN
I SO nhưng SO (SBD) → I (SBD)
Vậy: I = AN (SBD)
Xác định giao điểm J = MN ∩ (SBD)
- Chọn mặt phẳng phụ (SMC) ∩ MN
- Tìm giao tuyến của (SMC) và (SBD)
S là điểm chung của (SMC) và (SBD)
Trong (ABCD), gọi E = MC ∩ BD
→ (SAC)∩ (SBD) = SE
- Trong (SMC), gọi J = MN ∩ SE, J∈ MN
J∈ SE mà SE (SBD) → J ∈ (SBD)
Vậy J = MN (SBD)
Chứng minh rằng I, J, B thẳng hàng
Ta có: B là điểm chung của (ANB) và (SBD)
- I SO nhưng SO (SBD) → I (SBD)
- I AN nhưng AN∈ (ANB) → I ∈ (ANB)
→ I là điểm chung của (ANB) và (SBD)
- J SE nhưng SE (SBD) → J ∈ (SBD)
- J MN trong đó MN (ANB) → J ∈ (ANB)
→ J là điểm chung của (ANB) và (SBD)
Vì vậy: B, I, J thẳng hàng
Bài 2: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi I, J là hai điểm trên AD và SB, AD cắt BC tại O và OJ cắt SC tại M.
Tìm giao điểm K = IJ và (SAC)
Xác định giao điểm L = DJ và (SAC)
Chứng minh rằng A, K, L, M thẳng hàng
Hướng dẫn giải chi tiết
Tìm giao điểm K = IJ (SAC)
- Chọn mặt phẳng phụ (SIB) ∩ IJ
- Tìm giao tuyến của (SIB) và (SAC)
S là điểm chung của (SIB) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi E = AC ∩ BI
→ (SIB) (SAC) = SE
Trong (SIB), gọi K = IJ SE
==> K ∈ IJ
K SE trong đó SE⊂ (SAC) → K ∈ (SAC)
Vậy: K = IJ ∩ (SAC)
Xác định giao điểm L = DJ ∩ (SAC)
- Chọn sub mp (SBD) ∩ DJ
- Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)
S là điểm chung của (SBD) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi F = AC BD
→ (SBD) (SAC) = SF
- Trong (SBD), gọi L = DJ SF
L ∈ DJ
L SF trong đó SF (SAC) → L (SAC)
Vì vậy: L = DJ ∩ (SAC)
Chứng minh rằng A, K, L, M thẳng hàng
Ta có: A là điểm chung của (SAC) và (AJO)
- K IJ nhưng IJ (AJO) → K ∈ (AJO)
- K SE rằng SE⊂ (SAC) → K (SAC)
→ K là điểm chung của (SAC) và (AJO)
- L DJ đó DJ (AJO) → L ∈ (AJO)
- L SF trong đó SF (SAC) → L (SAC)
→ L là điểm chung của (SAC) và (AJO)
- M JO mà JO (AJO) → M ∈ (AJO)
- M SC trong đó SC (SAC) → M (SAC)
→ M là điểm chung của (SAC) và (AJO)
Vậy: A, K, L, M thẳng hàng
Bài 3: Tìm giao tuyến
Gọi L, M, N lần lượt là các điểm trên các cạnh SA, SB và AC sao cho LM không song song với AB, LN không song song với SC.
1. Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
2. Tìm giao điểm I = BC ∩ (LMN) và J = SC ∩ (LMN)
3. Chứng minh rằng M, I, J thẳng hàng
Dung dịch
Tìm giao tuyến của mp (LMN) và (ABC)
Ta có: N là điểm chung của (LMN) và (ABC)
Trong (SAB), LM không song song với AB
Cho K = AB∩ LM
K∈ LM trong đó LM ⊂ (LMN) → K∈ (LMN)
K ∈ AB trong đó AB⊂ (ABC) → K ∈(ABC)
Tìm giao điểm I = BC (LMN)
- Chọn mặt phẳng (ABC)∩ BC
- Tìm giao tuyến của (ABC) và (LMN)
→ (ABC) ∩(LMN) = NK
- Trong (ABC), gọi I = NK ∩ BC
I ∈ BC
I ∈ NK nhưng NK⊂ (LMN) → I ∈ (LMN)
Vậy: I = BC ∩ (LMN)
Tìm giao điểm J = SC (LMN)
- Trong (SAC), LN không song song với SC
gọi J = LN ∩ SC
J ∈SC
J∈ LN trong đó LN ⊂ (LMN) → J ∈ (LMN)
Vì vậy: J = SC ∩(LMN)
Chứng minh rằng M, I, J thẳng hàng
Ta có: M, I, J là điểm chung của (LMN) và (SBC)
Vì vậy: M, I, J thẳng hàng
Bài 4: Chứng minh 3 điểm thẳng hàng
Cho tứ giác ABCD và S ∉ (ABCD). Gọi M, N là hai điểm trên BC và SD.
Tìm giao điểm I = BN (SAC)
Tìm giao điểm J = MN (SAC)
Chứng minh rằng C, I, J thẳng hàng
Dung dịch
Tìm giao điểm I = BN ∩ (SAC)
- Chọn mp phụ (SBD) ∩BN
- Tìm giao tuyến của (SBD) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi O = AC ∩ BD
→ (SBD) ∩ (SAC) = SO
- Trong (SBD), gọi I = BN ∩ SO
I ∈ BN
I ∈ SO mà SO ⊂ (SAC ) → I ∈ (SAC)
Vậy: I = BN ∩ (SAC)
Tìm giao điểm J = MN ∩ (SAC):
- Chọn mp phụ (SMD) ∩ MN
- Tìm giao tuyến của (SMD) và (SAC)
Trong (ABCD), gọi K = AC DM
→ (SMD) (SAC) = SK
-
- Trong (SMD), gọi J = MN ∩ SK
J ∈ MN
J ∈ SK mà SK ⊂ (SAC ) → J ∈ (SAC)
Vậy : J = MN ∩ ( SAC)
3. Chứng minh C , I , J thẳng hàng:
Ta có: C, I, J là điểm chung của (BCN ) và (SAC)
Vậy : C, I , J thẳng hàng
Bài tập ứng dụng
Bài tập 1: Cho tứ diện đều SABC. Trên các cạnh SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm D, E, F sao cho DE cắt AB kéo dài tại I, EF cắt BC kéo dài tại J, FD cắt CA kéo dài tại K. Chứng minh rằng 3 điểm I, J, K thẳng hàng.
Bài tập 2: Cho hình chóp SABCD. Gọi I, J là hai điểm trên cạnh AD, SB
một). Tìm giao điểm K, L của IJ và DJ với (SAC)
b). AD cắt BC tại O; OJ cắt SC tại M. Chứng minh rằng A, K, L, M thẳng hàng
Đăng bởi: Trường ĐH KD & CN Hà Nội
Nguồn: hubm.edu.vn
#Chứng #minh #điểm #thẳng #hàng #lớp
