Lý thuyết phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp

Lý thuyết về phép đối xứng trục và các phương pháp giải toán thường gặp

Phép đối xứng trục là một trong những phần kiến ​​thức trọng tâm của chương trình Hình học 11. Trong bài viết hôm nay, ĐH KD & CN Hà Nội sẽ giới thiệu chi tiết về chủ đề này: từ phần lý thuyết đến phương pháp giải các dạng toán thường gặp. gặp trục đối xứng. Hãy chia sẻ!

I. LÝ THUYẾT VỀ Phép Đối Xứng Trục

1. Định nghĩa

Bạn đang xem: Lý thuyết về phép đối xứng trục và các phương pháp giải toán thường gặp

Cho trước một đường thẳng d. Phép biến hình biến mọi điểm M thuộc d thành chính nó, biến mọi điểm M không thuộc d thành M’ sao cho d là trung trực của đoạn thẳng MM’ được gọi là phép đối xứng trục d hay phép đối xứng trục. đ.

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng hay đơn giản là trục đối xứng.

Đối xứng trục d thường được ký hiệu là ĐỎ_đ

Nếu hình H’ là ảnh của hình H qua phép đối xứng trục d thì ta cũng nói rằng H đối xứng với H’ qua d, hay H và H’ đối xứng với nhau qua d.

Bình luận

Cho trước một đường thẳng d. Với mỗi điểm M gọi M₀ là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng d. Khi đó M’ = ĐỎ_đ(M) Hoa Kỳ₀M’→ = – Hoa Kỳ₀M→.

M’ = ĐỎ_đ(M) M = ĐỎ_đ(M’)

2. Biểu thức tọa độ

Nếu d ≡ Ox. Gọi M'(x’; y’) = ĐỎ_{Con bò đực}[M(x,y)] sau đó

Nếu d ≡ Oy. Gọi M'(x’; y’) = ĐỎ_Oy[M(x,y)] sau đó

3. Thuộc tính

1 . tài sản

Phép đối xứng trục bảo toàn khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

2 . tài sản

Phép đối xứng trục biến một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng, một đoạn thẳng thành một đoạn thẳng với nó, một tam giác thành một tam giác với nó, từ một đường tròn thành một đường tròn có cùng bán kính.

4. Trục đối xứng của hình

Định nghĩa

Đường thẳng d được gọi là trục đối xứng của hình H nếu phép đối xứng qua d biến H thành chính nó. Khi đó ta nói H là hình có trục đối xứng.

II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI CÁC DẠNG TOÁN VỀ Phép Đối Xứng Trục

Dạng 1: Sử dụng phép đối xứng trục để giải bài toán dựng hình

Phương pháp giải:

– Dựng điểm M: Tìm một hình (H) cố định và một đường thẳng d cố định sao cho khi thực hiện phép đối xứng qua trục d ta được một hình là hình (H’) cắt (C) cố định tại điểm M cần dựng. xây dựng

– Thực hiện phép đối xứng trục d để tìm các điểm còn lại mà từ đó ta có hình cần dựng

Ví dụ 1: Dựng hình vuông ABCD biết hai đỉnh A, C nằm trên đường thẳng d_{Đầu tiên} và hai đỉnh B, D lần lượt thuộc hai đường thẳng d.₂,d₃

Câu trả lời

– Giả sử đã dựng được hình vuông ABCD thỏa mãn điều kiện của bài toán

Do và AC là các trục đối xứng của hình vuông ABCD

Mặt khác B d₂ vậy D d’₂ ở đâu₂ là đường thẳng đối xứng với d₂ thông qua

Suy ra: D = d’₂ đ₃

– Làm thế nào để xây dựng:

xây d’₂ = DỄ DÀNG_d1(d₂), gọi D = d₃ đ’₂

Dựng đường thẳng qua D vuông góc với d_{Đầu tiên} tại O và cắt d₂ trong B

Dựng đường tròn tâm O đường kính BD cắt nhau tại A, C (A, C thứ tự là tứ giác ABCD)

– Bình luận:

TH1: đ₂ cắt₃ sau đó:

Nếu d’₂ đ₃ thì bài toán có 1 nghiệm

Nếu d’₂ // d₃ sau đó vấn đề không có giải pháp

TH2: đ₂ // d₃. Sau đó

Nếu d_{Đầu tiên} song song và cách đều d₂ và đ₃ thì bài toán có vô số nghiệm

Nếu d_{Đầu tiên} thích hợp cho đ₂ và đ₃ một góc bằng 45 thì bài toán có 1 nghiệm

Nếu d_{Đầu tiên} song song và không bằng nhau d₂đ₃ hoặc d_{Đầu tiên} không thích hợp cho đ₂đ₃ một góc 45 thì bài toán vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho hai đường tròn (C), (C′) có bán kính khác nhau và một đường thẳng d. Dựng hình vuông ABCD có hai đỉnh A, C nằm trên (C), (C′) và hai đỉnh còn lại thuộc d.

Câu trả lời

– Dựng đường tròn (C_{Đầu tiên}) là ảnh của (C) đến D_đ

– Gọi C là giao điểm của (C_{Đầu tiên}) và C’)

– Dựng điểm A đối xứng với C qua d

– Cho I = AC d

Trên d lấy hai điểm B, D sao cho: IB = ID = IA

Khi đó ABCD là hình vuông cần dựng

Số nghiệm bằng số giao điểm của (C_{Đầu tiên}) và C’)

Dạng 2: Xác định ảnh của một hình qua phép đối xứng trục

Phương pháp giải: Để xác định ảnh (H′) của hình (H) qua phép đối xứng trục, ta có thể sử dụng một trong các cách sau:

– Sử dụng định nghĩa phép đối xứng trục

– Sử dụng biểu thức tọa độ của phép đối xứng trục mà các trục đối xứng là các trục tọa độ Ox, Oy

– Sử dụng biểu thức véc tơ của phép đối xứng trục

Ví dụ 1: Trong mặt phẳng Oxy cho A(1;-2) và B(3;1). Tìm ảnh của A, B và đường thẳng AB qua phép đối xứng trục Ox

Câu trả lời

A’ là ảnh của A qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ A'(1;2)

B’ là ảnh của B qua phép đối xứng qua trục Ox có tọa độ B'(3; -1)

Ảnh của đường thẳng AB qua phép đối xứng qua trục Ox là đường thẳng A’B’ nên đường thẳng A’B’ có phương trình là:

=> 3x + 2y – 7 = 0

Ví dụ 2: Trong mặt phẳng Oxy có đường thẳng d có phương trình: 3x – y + 2 = 0. Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép đối xứng trục Oy

Câu trả lời

Cho M(x; y) phụ thuộc tùy ý vào d

Suy ra: 3x – y + 2 = 0 (1)

Thay (1) được: 3(-x’) – y’ + 2 = 0 3x’ + y’ – 2 = 0

Vậy tọa độ M’ thỏa mãn phương trình d’: 3x + y – 2 = 0

Dạng 3: Sử dụng phép đối xứng trục để giải bài toán tập hợp điểm

Phương pháp giải:

– Tìm quỹ tích điểm M: Từ giả thiết chọn điểm E di động sao cho EM nhận đường thẳng d cố định làm trục đối xứng

– Xác định hình (H) là quỹ tích của E

– Khi đó tập hợp các điểm M là (H’) – ảnh của (H) qua d . đối xứng trục

Ví dụ 1: Cho A, B, C thuộc đường thẳng xx’ (B nằm giữa A và C). Đường thẳng yy’ ⊥ xx’ tại C. Qua điểm A kẻ đường thẳng Δ chuyển động cắt yy’ tại M. Qua B kẻ đường vuông góc với Δ cắt yy’ tại N. Chứng minh rằng khi Δ quay quanh A thì đường tròn ngoại tiếp khoảng tam giác BMN cũng đi qua điểm cố định thứ hai

Câu trả lời

Gọi (C) là đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN:

bệnh nhân AM

AC MN

Do đó B là trực tâm của tam giác AMN .

Gọi B’ là giao điểm của xx’ và đường tròn (C).

Dễ dàng chứng minh được yy’ là trục đối xứng của BB’.

Vậy B thuộc đường tròn (C’) = D_yy’ [(C)]

Vậy B’ ∈ (C) = D_yy’ [(C‘)]

Ví dụ 2: Cho tam giác ABC có hai đỉnh B và C di động trên một đường thẳng Δ Biết rằng trực tâm H của tam giác cố định và đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua một điểm P cố định khác H Gọi O là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Tìm quỹ tích các điểm O

Câu trả lời

Cho H’ = D_Δ(H)

Suy ra H’ cố định và thuộc đường tròn (O).

Do đó O cách đều hai điểm cố định P và H’.

Vậy O thuộc trực tâm PH’

III. BÀI TẬP ỨNG DỤNG

Bài tập 1: Cho hai đường thẳng a, b cắt nhau tại O. Xét hai phép đối xứng Da và Db:

Phát biểu nào sau đây không sai?

A. Đường tròn A, B, C (O, R = OC)

B. Tứ giác OABC nội tiếp

C. DABC cân ở BE

D. DABC vuông tại B .

Trả lời: A

Bài 2. Gọi d là đường phân giác trong tại A của DABC, B’ là ảnh của B qua phép đối xứng trục D_đ. Khẳng định nào sau đây sai?

A. Nếu AB < AC thì B' thì B' thuộc cạnh AC

B. B’ là trung điểm của cạnh AC

C. Nếu AB = AC thì BC

D. Nếu B’ là trung điểm của cạnh AC thì AC = 2AB

Đáp án: BỎ

Bài 3. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(-3; 2), đường thẳng (D): x + 3y – 8 = 0, đường tròn (C ) : (x + 3)2 + (y + 2)2 = 4. Tìm ảnh của M, (D) và (C) qua phép đối xứng trục (a): x–2y + 2 = 0

Trả lời:

Bài 4. Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(3; -5), đường thẳng (D): 3x + 2y – 6 = 0, đường tròn (C ) : (x + 1)2 + (y -2)2 = 9. Tìm ảnh của M, (D) và (C) qua phép đối xứng trục (a): 2x–y + 1 = 0

Trả lời

Bài 5. Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (a): 2x–y–3 = 0, (D): x–3y + 11 = 0, (C) x2 + y2–10x–4y + 27 = 0

Một . Viết biểu thức giải phép đối xứng trục ĐỎ_Một.

b. Tìm ảnh của điểm M(4; -1) qua ĐỎ_Một.

c. Tìm ảnh: (D’) = RED_Một(D), (C’) = ĐỎ_Một(C).

Trả lời:

Bài 6. Cho hai điểm phân biệt B, C cố định trên đường tròn (O), điểm A di động trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi A di động trên đường tròn (O) thì trực tâm của tam giác ABC di động trên một đường tròn.

Trên đây chúng tôi đã giới thiệu đến quý vị và các bạn lý thuyết về phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp về phép đối xứng trục. Hi vọng chúng tôi đã cung cấp thêm cho bạn đọc những nguồn tư liệu thiết yếu giúp bạn dạy và học tốt hơn. Xem thêm phép đối xứng tâm!

Đăng bởi: ĐH KD & CN Hà Nội

Bản quyền bài viết thuộc về trường ĐH KD & CN Hà Nội. Mọi sao chép đều là gian lận! Nguồn chia sẻ: ĐH KD & CN Hà Nội (hubm.edu.vn)

Bạn thấy bài viết Lý thuyết phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp có giải quyết đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu  không hãy comment góp ý thêm về Lý thuyết phép đối xứng trục và phương pháp giải các dạng toán thường gặp bên dưới để https://hubm.edu.vn/ có thể chỉnh sửa & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website ĐH KD & CN Hà Nội

Nguồn: hubm.edu.vn

#Lý #thuyết #phép #đối #xứng #trục #và #phương #pháp #giải #các #dạng #toán #thường #gặp