Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Phương trình bậc hai một ẩn: lý thuyết và cách giải các dạng toán

Trong bài viết hôm nay trường ĐH KD & CN Hà Nội sẽ giới thiệu đến các em học sinh lý thuyết về phương trình bậc hai và cách giải. Đây là phần kiến ​​thức hình học đại cương vô cùng quan trọng, liên quan đến nhiều dạng toán thường gặp. Tìm hiểu thêm để củng cố kiến ​​thức của bạn!

I. LÝ THUYẾT VỀ phương trình bậc hai một phụ nữ

1. Phương trình bậc hai chưa biết là gì?

Cho phương trình sau: ax²+ bx + c = 0 (a ≠ 0), được gọi là phương trình bậc hai một ẩn x.

Công thức giải: Ta gọi = b²-4ac. Sau đó:

• Δ> 0: phương trình tồn tại 2 nghiệm:.

• Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép x = -b / 2a

Trong trường hợp b = 2b ‘, để đơn giản chúng ta có thể tính toán’ = b ‘²-ac, tương tự như trên:

• Δ ‘> 0: phương trình có 2 nghiệm phân biệt.

• Δ ‘= 0: phương trình có nghiệm kép x = -b’ / a
• ‘

2. Định lý Viet và ứng dụng của nó trong phương trình bậc hai với một ẩn số

Cho một phương trình bậc hai một ẩn số: ax²+ bx + c = 0 (a ≠ 0). Giả sử phương trình có 2 nghiệm x_{Đầu tiên} và x₂bây giờ quan hệ sau được thỏa mãn:

Dựa vào quan hệ trên, ta có thể sử dụng định lý Viet để tính các biểu thức đối xứng chứa x_{Đầu tiên} và x₂

• x_{Đầu tiên}+ x₂= -b / a
• x_{Đầu tiên}²+ x₂²= (x_{Đầu tiên}+ x₂)²-2x_{Đầu tiên}x₂= (b²-2ac) / a²
• 
• …

Nhận xét: Đối với dạng này, ta cần biến đổi biểu thức để biểu thức xuất hiện (x_{Đầu tiên}+ x₂) và x_{Đầu tiên}x₂ để áp dụng hệ thống Việt.

Định lý Viet Island: Giả sử tồn tại hai số thực x_{Đầu tiên} và x₂ hài lòng: x_{Đầu tiên}+ x₂= S, x_{Đầu tiên}x₂= P rồi đến x_{Đầu tiên} và x₂ là 2 nghiệm của phương trình x²-Sx + P = 0

II. CÁCH GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CỦA MỘT NGƯỜI NỮ

Những lưu ý khi giải phương trình bậc hai với một ẩn số:

cây rìu² + bx + c = 0

Nếu b = 0, ta có ax² + c = 0 (a ≠ 0) gọi là phương trình bậc hai có khuyết b.

Nếu c = 0, ta có ax² + bx = 0 (a ≠ 0) được gọi là phương trình bậc hai có khuyết c.

1. Cách giải phương trình bậc hai với một ẩn số khác với phương trình không trống:

cây rìu² + bx + c = 0 (a ≠ 0).

Chúng tôi giải quyết nó bằng một trong hai phương pháp sau:

Cách 1: Biến đổi thành phương trình dạng a (x + m)² = n.

Cách 2: Biến đổi thành phương trình tích a (x + m) (x + n) = 0

2. Cách giải phương trình bậc hai một ẩn b.

cây rìu² + c = 0 (a 0)

Tôi nhận được x² = -c / a. Nếu -ca ≥ 0 thì phương trình có nghiệm x = -ca

Nếu -ca

3. Cách giải phương trình khuyết tật

cây rìu² + bx = 0 (a 0)

Ta biến đổi thành: x (a + b) = 0 x = 0 và ax = -b x = 0 và x = −b / a

Phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt x = 0 và x = −b / a

III. CÁC LOẠI TOÁN CỦA Phương trình bậc hai MỘT NỮ

1. Dạng 1: Phương trình bậc hai một tham số

một. Lập luận số nghiệm của phương trình bậc hai

Phương pháp: Dùng công thức tính Δ, dựa vào dấu của Δ để biện luận phương trình có 2 nghiệm phân biệt, có nghiệm kép hay vô nghiệm.

Ví dụ 4: Giải và biện luận theo tham số m: mx²-5x-m-5 = 0

Hướng dẫn:

Xét m = 0 thì

• 
• -5x-5 = 0 x = -1
• Xét m ≠ 0 thì
• là một phương trình bậc hai theo x.

Vì Δ≥0 nên phương trình luôn có nghiệm:

Δ = 0 ⇔ m = -5 / 2 thì phương trình có nghiệm duy nhất.

• Δ> 0 ⇔ m ≠ -5 / 2 thì phương trình có 2 nghiệm phân biệt:
• b. Xác định điều kiện tham số để lời giải thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Tính Δ, tìm điều kiện để Δ không âm.

Dựa vào định lý Viet, ta nhận được các quan hệ giữa tích và tổng, từ đó lập luận theo yêu cầu.

Phuong- Trinh-bac-2-mot-an-02

Ví dụ 5: Cho phương trình x2 + mx + m + 3 = 0

. Tìm m để phương trình_{Có 2 giải pháp thỏa mãn:} Hướng dẫn:_{Lập phương trình} có kinh nghiệm sau đó:

Sau đó, gọi x

Đầu tiên

• và x
• 2

là 2 nghiệm, theo định lý Viet:

Mặt khác:

Theo chủ đề:

Thử lại:

1. Khi m = 5, = -7^{Khi m = -3, = 9> 0 (nhận)}nên m = -3 đạt yêu cầu của bài toán.
2. 2. Dạng 2: Bài tập về phương trình bậc hai không xuất hiện tham số^{Để giải phương trình bậc hai, cách phổ biến nhất là sử dụng công thức tính Δ hoặc Δ ‘, sau đó áp dụng các điều kiện và công thức của các giải đã nêu ở phần I.}Ví dụ 1: Giải các phương trình sau:

x

1. 2^{-3x + 2 = 0}x

2

+ x-6 = 0_{Hướng dẫn:}= (- 3)₂-4,2 = 1. Vì thế

1. Ngoài ra, chúng ta có thể áp dụng cách tính nhanh:^{Suy ra phương trình có nghiệm là x}Đầu tiên

= 1 và x

2

= 2/1 = 2

= 1²-4. (- 6) = 25. Vì thế

• 
• Tuy nhiên, ngoài phương trình bậc hai đầy đủ, chúng ta còn xét các trường hợp đặc biệt sau:

một. Phương trình khuyết tật của Terminator

• Khuyết tật thuật ngữ bậc nhất: rìu

2^{+ c = 0 (1).}Phương pháp:

Nếu -c / a> 0, giải pháp là:

1. Nếu -c / a = 0, nghiệm x = 0^{Nếu -c / a}Khuyết tật kỳ hạn miễn phí: ax
2. 2^{+ bx = 0 (2). Phương pháp:}Ví dụ 2: Giải phương trình:

x

1. 2^{-4 = 0}x²-3x = 0
2. Hướng dẫn:^x2

-4 = 0 x

2= 4 x = 2 hoặc x = -2^x2^{-3x = 0 x (x-3) = 0 x = 0 hoặc x = 3}b. Phương trình trở về dạng bậc hai

• Phương trình song song^{: cây rìu} 4
• + bx²+ c = 0 (a ≠ 0):
• Đặt t = x

2

• (t≥0).
• Phương trình đã cho có dạng: at
• 2

+ bt + c = 0^{Giải như một phương trình bậc hai thông thường, chú ý đến điều kiện t≥0} Phương trình ẩn trong mẫu:^{Tìm điều kiện xác định phân thức (điều kiện để mẫu số khác không).}Sự ngưng tụ của quá trình khử mẫu.^{Giải phương trình vừa nhận được, chú ý đối chiếu với điều kiện ban đầu.}Lưu ý: phương pháp đặt t = x

2

1. (t≥0) được gọi là phương thức ẩn. Ngoài cách đặt ẩn phụ như trên, đối với một số bài toán cần khéo léo chọn sao cho ẩn phụ là tốt nhất để đưa bài toán từ bậc cao về dạng bậc hai quen thuộc. Ví dụ: bạn có thể đặt t = x + 1, t = x²+ x, t = x²-Đầu tiên…
2. 

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

1. 4x⁴ -3x

2^{-1 = 0}Hướng dẫn:

• Đặt t = x²(t≥0), bây giờ phương trình trở thành:
• 4t

2

1. -3t-1 = 0, suy ra t = 1 hoặc t = -¼

2 = 1 ⇔ x = 1 hoặc x = -1. t = -¼, loại do điều kiện t≥0

Vậy phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = -1.

Chúng ta có: