Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Bạn đang xem: Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện tại ĐH KD & CN Hà Nội

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp

Chứng minh. Xem bài giảng

$R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Trong đó $R_{d}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Giải.Ta có $R_{d} = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{9 a^{2} + 16 a^{2}}}{2} = \frac{5 a}{2} .$

Vậy $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{5 a}{2})}^{2} + {(\frac{12 a}{2})}^{2}} = \frac{13 a}{2} .$ Chọn đáp án A.

Giải. Ta có ${\begin{matrix} S A ⊥ S B \\ S A ⊥ S C \end{matrix} \Rightarrow S A ⊥ (S B C) .$

Vì vậy $R = \sqrt{R_{S B C}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{B C}{2 \sin \hat{B S C}})}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2 \frac{\sqrt{3}}{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{7}{12}} a .$

Diện tích mặt cầu $S = 4 π R^{2} = \frac{7 π a^{2}}{3} .$ Chọn đáp án B.

Khối tứ diện vuông $O A B C$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc có $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} .$

Giải. Ta có $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} = \sqrt{3} \Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 12.$

Mặt khác $V_{O A B C} = \frac{1}{6} . O A . O B . O C$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

$12 = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} \geq 3 \sqrt[3]{O A^{2} . O B^{2} . O C^{2}} \Rightarrow O A . O B . O C \leq 8.$

Do đó $V_{O A B C} \leq \frac{8}{6} = \frac{4}{3} .$ Chọn đáp án A.

$R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Trong đó $R_{d}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Giải. Ta có $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$ Vậy $a = \frac{2 \sqrt{3} R}{3} .$ Chọn đáp án C.

A. $S = \frac{49 π a^{2}}{144} .$

B. $S = \frac{7 a^{2}}{3} .$

C. $S = \frac{7 π a^{2}}{3} .$

D. $S = \frac{49 a^{2}}{144} .$

Giải. Có $S = 4 π R^{2} = 4 π (R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}) = 4 π ({(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}) = \frac{7 π a^{2}}{3} .$ Chọn đáp án C.

Khối tứ diện $(H_{1})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $(H_{2}),$ khi đó $R_{(H_{1})} = R_{(H_{2})} = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Giải.

Ta có $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}},$ trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có

$\vec{I A} . \vec{I C} = \vec{I B} . \vec{I D} = - h^{2} = O I^{2} - R_{d}^{2} \Leftrightarrow R_{d}^{2} = O I^{2} + h^{2} \geq h^{2} .$

Do đó $R \geq \sqrt{h^{2} + \frac{h^{2}}{4}} = \frac{h \sqrt{5}}{2} .$

Chọn đáp án C. Dấu bằng đạt tại $O \equiv I .$

Hoặc có thể sử dụng công thức $R = \sqrt{R_{d}^{2} + R_{b}^{2} - \frac{a^{2}}{4}},$ trong đó $R_{b}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Giải. Ta có $R = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2} . \cot 60^{0})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2 \sqrt{3}})}^{2}} = \frac{a \sqrt{42}}{6} .$

Chọn đáp án B.

A. $5 π a^{2} .$

B. $3 π a^{2} .$

C. $4 π a^{2} .$

D. $2 π a^{2} .$

Giải. Chóp $M . A^{'} B^{'} C^{'}$ có mặt bên $(M A^{'} C^{'}) ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ do đó

$S = 4 π R^{2} = 4 π (R_{A^{'} B^{'} C^{'}}^{2} + R_{M A^{'} C^{'}}^{2} - {(\frac{A^{'} C^{'}}{2})}^{2}) = 4 π ({(\frac{\sqrt{5} a}{2})}^{2} + a^{2} - {(\frac{2 a}{2})}^{2}) = 5 π a^{2} .$

trong đó $R_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{B^{'} C^{'}}{2} = \frac{\sqrt{5} a}{2}; M A^{'} = M C^{'} = \sqrt{2} a, A^{'} C^{'} = 2 a \Rightarrow M A^{'} ⊥ M C^{'} \Rightarrow R_{M A^{'} C^{'}} = \frac{A^{'} C^{'}}{2} = a .$

Chọn đáp án A.

Giải.Ta có $c b = \sqrt{3} a, h = \sqrt{c b^{2} - R_{d}^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - {(\frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3}})}^{2}} = \sqrt{2} a \Rightarrow R = \frac{3 a^{2}}{2 \sqrt{2} a} = \frac{3 \sqrt{2} a}{4} .$ Chọn đáp án C.

Giải. Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nau thể tích khối cầu xác định bởi

$V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{c b^{2}}{2 h})}^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2}}})}^{3} = g (x) = π \frac{x^{6}}{6 \sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} \geq min_{(1; + \infty)} g (x) = g (\sqrt{2}) = \frac{4 π}{3} .$ Chọn đáp án C.

Thông tin cần xem thêm: Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Hình Ảnh về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Video về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Wiki về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

<br />

Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện -

Điều kiện cần và đủ để khối chóp có mặt cầu ngoại tiếp

Chứng minh. Xem bài giảng

$R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Trong đó $R_{d}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên vuông góc với đáy.

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 16 – mã đề 122

Giải.Ta có $R_{d} = \frac{A C}{2} = \frac{\sqrt{A B^{2} + B C^{2}}}{2} = \frac{\sqrt{9 a^{2} + 16 a^{2}}}{2} = \frac{5 a}{2} .$

Vậy $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{5 a}{2})}^{2} + {(\frac{12 a}{2})}^{2}} = \frac{13 a}{2} .$ Chọn đáp án A.

Giải. Ta có ${\begin{matrix} S A ⊥ S B \\ S A ⊥ S C \end{matrix} \Rightarrow S A ⊥ (S B C) .$

Vì vậy $R = \sqrt{R_{S B C}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{B C}{2 \sin \hat{B S C}})}^{2} + {(\frac{S A}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{2 \frac{\sqrt{3}}{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \sqrt{\frac{7}{12}} a .$

Diện tích mặt cầu $S = 4 π R^{2} = \frac{7 π a^{2}}{3} .$ Chọn đáp án B.

Khối tứ diện vuông $O A B C$ có $O A, O B, O C$ đôi một vuông góc có $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} .$

Giải. Ta có $R = \frac{\sqrt{O A^{2} + O B^{2} + O C^{2}}}{2} = \sqrt{3} \Leftrightarrow O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} = 12.$

Mặt khác $V_{O A B C} = \frac{1}{6} . O A . O B . O C$ và theo bất đẳng thức AM – GM ta có:

$12 = O A^{2} + O B^{2} + O C^{2} \geq 3 \sqrt[3]{O A^{2} . O B^{2} . O C^{2}} \Rightarrow O A . O B . O C \leq 8.$

Do đó $V_{O A B C} \leq \frac{8}{6} = \frac{4}{3} .$ Chọn đáp án A.

$R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Trong đó $R_{d}$ là bán kính ngoại tiếp đáy; $h$ là độ dài cạnh bên.

Trích đề thi THPT Quốc gia 2017 – Câu 29 – mã đề 124

Giải. Ta có $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}} = \frac{a \sqrt{3}}{2} .$ Vậy $a = \frac{2 \sqrt{3} R}{3} .$ Chọn đáp án C.

A. $S = \frac{49 π a^{2}}{144} .$

B. $S = \frac{7 a^{2}}{3} .$

C. $S = \frac{7 π a^{2}}{3} .$

D. $S = \frac{49 a^{2}}{144} .$

Giải. Có $S = 4 π R^{2} = 4 π (R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}) = 4 π ({(\frac{a}{\sqrt{3}})}^{2} + {(\frac{a}{2})}^{2}) = \frac{7 π a^{2}}{3} .$ Chọn đáp án C.

Khối tứ diện $(H_{1})$ có các đỉnh là đỉnh của khối lăng trụ đứng $(H_{2}),$ khi đó $R_{(H_{1})} = R_{(H_{2})} = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}} .$

Giải.

Ta có $R = \sqrt{R_{d}^{2} + {(\frac{h}{2})}^{2}},$ trong đó $O$ là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy thì ta có

$\vec{I A} . \vec{I C} = \vec{I B} . \vec{I D} = - h^{2} = O I^{2} - R_{d}^{2} \Leftrightarrow R_{d}^{2} = O I^{2} + h^{2} \geq h^{2} .$

Do đó $R \geq \sqrt{h^{2} + \frac{h^{2}}{4}} = \frac{h \sqrt{5}}{2} .$

Chọn đáp án C. Dấu bằng đạt tại $O \equiv I .$

Hoặc có thể sử dụng công thức $R = \sqrt{R_{d}^{2} + R_{b}^{2} - \frac{a^{2}}{4}},$ trong đó $R_{b}$ là bán kính ngoại tiếp của mặt bên và $a$ tương ứng là độ dài đoạn giao tuyến của mặt bên và đáy.

Giải. Ta có $R = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2} . \cot 60^{0})}^{2}} = \sqrt{{(\frac{\sqrt{2} a}{\sqrt{2}})}^{2} + {(\frac{\sqrt{2} a}{2 \sqrt{3}})}^{2}} = \frac{a \sqrt{42}}{6} .$

Chọn đáp án B.

A. $5 π a^{2} .$

B. $3 π a^{2} .$

C. $4 π a^{2} .$

D. $2 π a^{2} .$

Giải. Chóp $M . A^{'} B^{'} C^{'}$ có mặt bên $(M A^{'} C^{'}) ⊥ (A^{'} B^{'} C^{'})$ do đó

$S = 4 π R^{2} = 4 π (R_{A^{'} B^{'} C^{'}}^{2} + R_{M A^{'} C^{'}}^{2} - {(\frac{A^{'} C^{'}}{2})}^{2}) = 4 π ({(\frac{\sqrt{5} a}{2})}^{2} + a^{2} - {(\frac{2 a}{2})}^{2}) = 5 π a^{2} .$

trong đó $R_{A^{'} B^{'} C^{'}} = \frac{B^{'} C^{'}}{2} = \frac{\sqrt{5} a}{2}; M A^{'} = M C^{'} = \sqrt{2} a, A^{'} C^{'} = 2 a \Rightarrow M A^{'} ⊥ M C^{'} \Rightarrow R_{M A^{'} C^{'}} = \frac{A^{'} C^{'}}{2} = a .$

Chọn đáp án A.

Giải.Ta có $c b = \sqrt{3} a, h = \sqrt{c b^{2} - R_{d}^{2}} = \sqrt{3 a^{2} - {(\frac{\sqrt{3} a}{\sqrt{3}})}^{2}} = \sqrt{2} a \Rightarrow R = \frac{3 a^{2}}{2 \sqrt{2} a} = \frac{3 \sqrt{2} a}{4} .$ Chọn đáp án C.

Giải. Áp dụng công thức tính cho trường hợp chóp có các cạnh bên bằng nau thể tích khối cầu xác định bởi

$V = \frac{4}{3} π R^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{c b^{2}}{2 h})}^{3} = \frac{4}{3} π {(\frac{x^{2}}{2 \sqrt{x^{2} - {(\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}})}^{2}}})}^{3} = g (x) = π \frac{x^{6}}{6 \sqrt{{(x^{2} - 1)}^{3}}} \geq min_{(1; + \infty)} g (x) = g (\sqrt{2}) = \frac{4 π}{3} .$ Chọn đáp án C.

[rule_{ruleNumber}]

Bạn thấy bài viết Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện có giải quyết đươc vấn đề bạn tìm hiểu không?, nếu không hãy comment góp ý thêm về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện bên dưới để https://hubm.edu.vn/ có thể chỉnh sửa & cải thiện nội dung tốt hơn cho độc giả nhé! Cám ơn bạn đã ghé thăm Website ĐH KD & CN Hà Nội

Nguồn: ĐH KD & CN Hà Nội
Chuyên mục: Kiến thức chung

#Tổng #hợp #tất #cả #các #công #thức #tính #nhanh #bán #kính #mặt #cầu #ngoại #tiếp #khối #đa #diện

Xem thêm bài viết hay: 10 loại nước ép trái cây và rau củ giúp phục hồi tình trạng thiếu máu

Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Thông tin cần xem thêm: Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Hình Ảnh về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Video về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Wiki về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Bài viết mới nhất

Bình luận mới nhất

Tìm kiếm

Thông tin cần xem thêm: Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Hình Ảnh về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Video về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Wiki về Tổng hợp tất cả các công thức tính nhanh bán kính mặt cầu ngoại tiếp khối đa diện

Bài viết liên quan

Reader Interactions

Trả lời Hủy

Footer

Bài viết mới nhất

Bình luận mới nhất

Tìm kiếm