Hàm số đơn điệu

Tính đồng biến (tăng) và tính nghịch biến (giảm) là các tính chất của một hàm số. Những hàm số tăng hoặc giảm trong một đoạn được gọi là đơn điệu trong đoạn đó. Với trường hợp tăng nghiêm ngặt hoặc giảm nghiêm ngặt thì được gọi là đơn điệu nghiêm ngặt.[1]

Thông thường để xác định tính chất đơn điệu của một hàm số người ta tìm đạo hàm của nó, nếu đạo hàm dương trong khoảng nào thì nó đồng biến trong khoảng đó, trong trường hợp âm thì ngược lại hàm số nghịch biến.[2]

Kí hiệu K là khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng.

Giả sử hàm số y= f(x) xác định trên K. Ta nói :

Hàm số y = f(x) đồng biến nghiêm ngặt (tăng ngặt) trên K nếu với mọi cặp x 1 {displaystyle x_{1}} ${displaystyle x_{1}}$ , x 2 {displaystyle x_{2}} ${displaystyle x_{2}}$ thuộc K mà x 1 {displaystyle x_{1}} ${displaystyle x_{1}}$ nhỏ hơn x 2 {displaystyle x_{2}} ${displaystyle x_{2}}$ thì f ( x 1 ) {displaystyle f(x_{1})} ${displaystyle f(x_{1})}$ nhỏ hơn f ( x 2 ) {displaystyle f(x_{2})} ${displaystyle f(x_{2})}$ , tức là : x 1 < x 2 → f ( x 1 ) < f ( x 2 ) {displaystyle x_{1}<x_{2}rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})} ${displaystyle x_{1}<x_{2}rightarrow f(x_{1})<f(x_{2})}$ [3][4]
Hàm số y = f(x) nghịch biến nghiêm ngặt (giảm ngặt) trên K nếu với mọi cặp x 1 {displaystyle x_{1}} ${displaystyle x_{1}}$ , x 2 {displaystyle x_{2}} ${displaystyle x_{2}}$ thuộc K mà x 1 {displaystyle x_{1}} ${displaystyle x_{1}}$ nhỏ hơn x 2 {displaystyle x_{2}} ${displaystyle x_{2}}$ thì f ( x 1 ) {displaystyle f(x_{1})} ${displaystyle f(x_{1})}$ lớn hơn f ( x 2 ) {displaystyle f(x_{2})} ${displaystyle f(x_{2})}$ , tức là: x 1 < x 2 → f ( x 1 ) > f ( x 2 ) {displaystyle x_{1}<x_{2}rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})} ${displaystyle x_{1}<x_{2}rightarrow f(x_{1})>f(x_{2})}$ [3][4]

Cho hàm số y=f(x) xác định và có đạo hàm trên K.

Nếu f ′ ( x ) > 0 , ∀ x ∈ K {displaystyle f'(x)>0,forall xin K} ${displaystyle f'(x)>0,forall xin K}$ thì hàm số y=f(x) đồng biến trên K [5]
Nếu f ′ ( x ) < 0 , ∀ x ∈ K {displaystyle f'(x)<0,forall xin K} ${displaystyle f'(x)<0,forall xin K}$ thì hàm số y=f(x) nghịch biến trên K [5]

Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm trên K.

Nếu f ′ ( x ) ≥ 0 , ∀ x ∈ K {displaystyle f'(x)geq 0,forall xin K} ${displaystyle f'(x)geq 0,forall xin K}$ và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số đồng biến trên K

Nếu f ′ ( x ) ≤ 0 , ∀ x ∈ K {displaystyle f'(x)leq 0,forall xin K} ${displaystyle f'(x)leq 0,forall xin K}$ và f'(x)=0 chỉ tại một số hữu hạn điểm thì hàm số nghịch biến trên K

Phan Đức Chính và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Toán 9, tập 1, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, 2011.
Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Đại số 10, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam, 2010.
Trần Văn Hạo và đồng nghiệp, Sách giáo khoa Giải tích 12, Nhà xuất bản giáo dục Việt Nam